【ミクロ経済学】要素需要関数の導出と生産要素価格の変化

こんにちは、とし（@tyobory）です。

ミクロ経済学15回テーマ「要素需要関数の導出と生産要素価格」です

全体の目次：「要素需要関数の導出と生産要素価格」

1．要素需要関数とは
2．要素需要関数の導出と計算
2．生産要素価格の変化

消費者理論では消費者が財を需要するように、企業でも生産のために労働と資本を需要します。

この労働と資本は企業の生産要素となるため、生産者理論では「要素需要関数」として定義されます。

本記事では、要素需要関数と生産要素価格の変化による需要の変化について解説していきます。

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要素需要関数の導出と生産要素価格の変化

要素需要関数の導出と生産要素価格の変化

要素需要を理解し、計算を解けるようになる。

要素需要関数の導出と計算

再度おさらいですが、要素需要関数とは企業の生産要素（労働・資本）の需要関数のことです。

要素需要関数の導出（解法は3つ）
①　代入法（代入して微分）
②　技術的限界代替率（公式）
③　ラグランジェ未定乗数法（別記事で解説）

費用最小化条件を踏まえて、生産要素に関する企業の需要関数を導出します。

とりあえず②だけ押さえればOKですが、例題とともに①と②の解法を確認していきましょう。

問題１（要素需要関数の導出）

次の生産関数と総費用関数が与えられているとき、各要素需要関数を導出しなさい。$\\$生産関数：$\small Q=L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}$
総費用：$\small TC=wL+rK$
$\\$⇓定式化⇓$\\$$\small \underset{\small L,K}{min}$ $\small TC=wL+rk$
$\small s.t.$ $\small Q=L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}$$\\$(TC：総費用、L：労働、K：資本、w：賃金率、r：資本レンタル率)$\\$意味：「生産関数Qの下で、総費用が最小化される労働と資本の要素需要関数を求めよ」

解法① 代入法生産関数を$\small K＝$… に変形し、予算制約線に代入すると、

$\small Q=L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}$
$\small K^{\frac{1}{2}}=Q・L^{-\frac{1}{2}}$
$\small K=Q^2・L^{-1}$
$\small TC=wL+r(Q^2・L^{-1})$

となる。ここで、総費用を労働（$\small L$）で微分し、$\small L$について解くと、労働の要素需要関数が導出される。

$\small \frac{\displaystyle \partial TC}{\displaystyle \partial L}=w+(-1)・rQ^2・L^{-2}=0$
$\small rQ^2・L^{-2}=w$
$\small L^{2}=\frac{\displaystyle r}{\displaystyle w}Q^2$
$\small L^*=(\frac{\displaystyle r}{\displaystyle w})^{\frac{1}{2}}Q$

また、$\small L$の値を$\small K$に直した生産関数に代入すると、

$\small K^*=(\frac{\displaystyle w}{\displaystyle r})^{\frac{1}{2}}Q$

となる。

以上より、企業の要素需要関数（$\small L^*,\,K^*$）が導出された。

解法②　技術的限界代替率(MRTS)企業の費用最小化条件は、等量曲線の技術的限界代替率(MRTS)と、等費用曲線の接線の傾きの大きさが一致するときに達成される。

$\small MP_L=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}$$\\$$\small MP_K=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}}$$\\$$\small MRTS=\frac{\displaystyle MP_L}{\displaystyle MP_K}=\frac{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}}{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}}}=\displaystyle \frac{K}{L}=\displaystyle \frac{w}{r}$

つまり、$\small K=\displaystyle \frac{wL}{r}$となり、生産関数に代入すると、

$\small Q=L^{\frac{1}{2}}(\displaystyle \frac{wL}{r})^{\frac{1}{2}}$
$\small L^*=(\frac{\displaystyle r}{\displaystyle w})^{\frac{1}{2}}Q$

同様に、

$\small K^*=(\frac{\displaystyle w}{\displaystyle r})^{\frac{1}{2}}Q$

となる。

以上より、企業の要素需要関数（$\small L^*,\,K^*$）が導出された。

ボックス内に2つの解き方が載っていますので、解いたら確認してみてください

費用最小化の数式の読み方が分からない！って方は、「等量曲線と等費用曲線」の記事で解説しております。ぜひ参考にしてください。